跳转至

第19篇

4.3 柔性系统

本文考虑无质量梁和平面框架，其上附有刚体质量。对于此类系统，计算柔度(flexibilities)比计算刚度(stiffnesses)更容易，前者是可测量量。

4.3.1 柔度系数

设一弹性梁在点1和点2分别受到力\({f}_{1}\)和\({f}_{2}\)作用(图4.14, a)。沿\({f}_{1}\)和\({f}_{2}\)方向的挠度分别为\({y}_{1}\)和\({y}_{2}\)。

考虑未受载的梁(图4.14, b)，在点1沿\({f}_{1}\)方向施加单位力。令点1和点2沿\({y}_{1}\)和\({y}_{2}\)方向的挠度分别为\({\delta }_{11}\)和\({\delta }_{21}\)。类似地，在点2沿\({f}_{2}\)方向施加单位力，记挠度为\({\delta }_{12}\)和\({\delta }_{22}\)(图4.14, c)。

力\({f}_{1}\)和\({f}_{2}\)与总挠度\({y}_{1}\)和\({y}_{2}\)之间的关系可由以下方程表示

\[ {y}_{1} = {\delta }_{11}{f}_{1} + {\delta }_{12}{f}_{2} \tag{4.77} \]
\[ {y}_{2} = {\delta }_{21}{f}_{1} + {\delta }_{22}{f}_{2}. \]

系数\({\delta }_{ij}\)称为柔度(影响)系数。

根据定义，\({\delta }_{ij}\)是由于在坐标\(j\)施加单位载荷而在坐标\(i\)产生的挠度。

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_126_507_1057_734_399_0.jpg

图4.14

用矩阵表示，方程(4.77)变为

\[ \left\{ \begin{array}{l} {y}_{1} \\ {y}_{2} \end{array}\right\} = \left\lbrack \begin{array}{ll} {\delta }_{11} & {\delta }_{12} \\ {\delta }_{21} & {\delta }_{22} \end{array}\right\rbrack \left\{ \begin{array}{l} {f}_{1} \\ {f}_{2} \end{array}\right\} \tag{4.77, a} \]

或

\[ \{ y\} = \left\lbrack \delta \right\rbrack \{ f\} , \tag{4.78} \]

其中\(\left\lbrack \delta \right\rbrack\)称为柔度矩阵。

根据麦克斯韦互易定理，柔度矩阵是对称的\({\left\lbrack \delta \right\rbrack }^{\mathrm{T}} = \left\lbrack \delta \right\rbrack\):结构某点因另一点施加单位载荷产生的挠度，等于在第二点施加单位载荷时第一点的挠度(挠度与载荷方向相同)。

因为在形如\(\{ f\} = \left\lbrack k\right\rbrack \{ y\}\)的方程中，矩阵\(\left\lbrack k\right\rbrack\)被称为刚度矩阵(stiffness matrix)，于是得到\(\left\lbrack k\right\rbrack = {\left\lbrack \delta \right\rbrack }^{-1}\)，或等价地

\[ \left\lbrack \delta \right\rbrack = {\left\lbrack k\right\rbrack }^{-1}. \tag{4.79} \]

当可能存在刚体运动时，\(\left\lbrack \delta \right\rbrack = {\left\lbrack k\right\rbrack }^{-1}\)不存在。没有“地面”反力来抵消为确定\(\left\lbrack \delta \right\rbrack\)而必须施加于结构的单位力，因而无法达到平衡。

4.3.2 运动方程

图4.15所示的无质量梁\(a\)具有恒定的弯曲刚度\({EI}\)，并在点1和点2处分别承载质量\({m}_{1}\)和\({m}_{2}\)。若仅关注这两个质量的横向位移，则系统的运动完全由挠度\({y}_{1}\)和\({y}_{2}\)描述，因此该系统具有两个自由度。

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_127_666_1095_376_365_0.jpg

图4.15

在自由振动中(图4.15，b)，应用达朗贝尔原理(d'Alembert's principle)，作用在质量上的唯一外力为惯性力

\[ {f}_{1} = - {m}_{1}{\ddot{y}}_{1},\;{f}_{2} = - {m}_{2}{\ddot{y}}_{2}. \tag{4.80} \]

将这些力代入方程(4.77)得到运动微分方程

\[ {\delta }_{11}{m}_{1}{\ddot{y}}_{1} + {\delta }_{12}{m}_{2}{\ddot{y}}_{2} + {y}_{1} = 0, \tag{4.81} \]
\[ {\delta }_{21}{m}_{1}{\ddot{y}}_{1} + {\delta }_{22}{m}_{2}{\ddot{y}}_{2} + {y}_{2} = 0. \]

写成矩阵形式

\[ \left\lbrack b\right\rbrack \{ \ddot{y}\} + \{ y\} = \{ 0\} . \tag{4.82} \]

矩阵\(\left\lbrack b\right\rbrack\)可写为

\[ \left\lbrack b\right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{ll} {b}_{11} & {b}_{12} \\ {b}_{21} & {b}_{22} \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{ll} {\delta }_{11}{m}_{1} & {\delta }_{12}{m}_{2} \\ {\delta }_{21}{m}_{1} & {\delta }_{22}{m}_{2} \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack \delta \right\rbrack \left\lbrack m\right\rbrack , \tag{4.83} \]

其中\(\left\lbrack m\right\rbrack\)为对角质量矩阵。

在方程(4.81)中，耦合由柔度矩阵的非对角元素引起。

4.3.3 正则模态

假设解的形式为

\[ \{ y\} = \{ a\} \cos \left( {{\omega t} - \varphi }\right) , \tag{4.84} \]

方程(4.81)变为

\[ -{\omega }^{2}\left\lbrack b\right\rbrack \{ a\} + \{ a\} = \{ 0\} \]

或

\[ \left\lbrack b\right\rbrack \{ a\} = \frac{1}{{\omega }^{2}}\{ a\} . \tag{4.85} \]

这是标准特征值问题，其中\(\lambda = 1/{\omega }^{2}\)为特征值(eigenvalues)，\(\{ a\}\)为特征向量(eigenvectors)。特征值等于固有频率平方的倒数，特征向量则是定义固有振型形状的模态向量。

方程(4.85)可写成如下形式

\[ \left( {{b}_{11}{\omega }^{2} - 1}\right) {a}_{1} + {b}_{12}{\omega }^{2}{a}_{2} = 0, \tag{4.85, a} \]
\[ {b}_{21}{\omega }^{2}{a}_{1} + \left( {{b}_{22}{\omega }^{2} - 1}\right) {a}_{2} = 0. \]

非平凡解的条件给出频率方程

\[ \left( {{b}_{11}{\omega }^{2} - 1}\right) \left( {{b}_{22}{\omega }^{2} - 1}\right) - {b}_{12}{b}_{21}{\omega }^{4} = 0 \]

或

\[ \left( {{b}_{11}{b}_{22} - {b}_{12}{b}_{21}}\right) {\omega }^{4} - \left( {{b}_{11} + {b}_{22}}\right) {\omega }^{2} + 1 = 0. \tag{4.86} \]

方程(4.86)有两个正实根\({\omega }_{1}^{2}\)和\({\omega }_{2}^{2}\)，即固有频率的平方。

振型由比值\(\mu = {a}_{2}/{a}_{1}\)定义，因此

\[ {\mu }_{1} = {\left( \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\right) }_{1} = \frac{1 - {b}_{11}{\omega }_{1}^{2}}{{b}_{12}{\omega }_{1}^{2}},\;{\mu }_{2} = {\left( \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\right) }_{2} = \frac{1 - {b}_{11}{\omega }_{2}^{2}}{{b}_{12}{\omega }_{2}^{2}}. \tag{4.87} \]

例4.5

计算图4.15所示梁的固有振动模态，\(a\)其中\({\ell }_{1} = {\ell }_{2} = \ell /2,{m}_{1} = {m}_{2} = m\)和\({EI} =\)为常数。

解:柔度系数为

\[ {\delta }_{11} = {\ell }^{3}/{24EI},{\delta }_{12} = {\delta }_{21} = 5{\ell }^{3}/{48EI},\;{\delta }_{22} = {\ell }^{3}/{3EI}. \]

柔度矩阵为

\[ \left\lbrack \delta \right\rbrack = \frac{{\ell }^{3}}{48EI}\left\lbrack \begin{matrix} 2 & 5 \\ 5 & {16} \end{matrix}\right\rbrack . \]

方程(4.85)可写成

\[ \left\lbrack \begin{matrix} 2 & 5 \\ 5 & {16} \end{matrix}\right\rbrack \left\{ \begin{array}{l} {a}_{1} \\ {a}_{2} \end{array}\right\} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} {a}_{1} \\ {a}_{2} \end{array}\right\} \]

其中

\[ \lambda = {48EI}/m{\ell }^{3}{\omega }^{2}. \]

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_129_629_1310_377_517_0.jpg

图4.16

频率方程为

\[ \left| \begin{matrix} 2 - \lambda & 5 \\ 5 & {16} - \lambda \end{matrix}\right| = 0\;\text{ or }\;{\lambda }^{2} - {18\lambda } + 7 = 0 \]

其解为\({\lambda }_{1} = {17.602}\)和\({\lambda }_{2} = {0.3976}\)。

固有频率为

\[ {\omega }_{1} = {1.6503}\sqrt{{EI}/m{\ell }^{3}},\;{\omega }_{2} = {10.986}\sqrt{{EI}/m{\ell }^{3}}. \]

振型由比值\(\mu = {a}_{2}/{a}_{1} = \lambda - 2/5\)定义

\[ {\mu }_{1} = {\left( \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\right) }_{1} = \frac{{\lambda }_{1} - 2}{5} = {3.12},\;{\mu }_{2} = {\left( \frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\right) }_{2} = \frac{{\lambda }_{2} - 2}{5} = - {0.32}. \]

它们在图4.16中以图形方式呈现。

Matlab Demo

给出例题的的参考代码

振型

% --- 数值参数设定 ---
E = 1;      % 弯曲刚度 (N*m^2)
I = 1;      % 截面惯性矩 (m^4)
m = 1;      % 质量 (kg)
ell = 1;    % 梁的总长度 (m)

% --- 柔度矩阵的简化形式 (根据例题) ---
% 柔度矩阵 delta = (ell^3 / (48*E*I)) * D_matrix
D_matrix = [2, 5; 5, 16];

% --- 求解特征值问题 [D]{a} = lambda{a} ---
% [V, Lambda] = eig(A) 返回特征向量矩阵V和特征值对角矩阵Lambda
[eigenvectors, eigenvalues_diag] = eig(D_matrix);

% 提取特征值 (eig函数默认按升序排列)
lambda_diag = diag(eigenvalues_diag);
lambda_2 = lambda_diag(1); % 较小的特征值
lambda_1 = lambda_diag(2); % 较大的特征值

% --- 计算固有频率 omega ---
% omega = sqrt(48*E*I / (m*ell^3*lambda))
omega_1 = sqrt(48*E*I / (m*ell^3*lambda_1));
omega_2 = sqrt(48*E*I / (m*ell^3*lambda_2));

% --- 提取并归一化振型 (模态向量) ---
% 使第一个元素为1，方便观察振幅比 mu
mode_shape_1 = eigenvectors(:, 2) / eigenvectors(1, 2);
mode_shape_2 = eigenvectors(:, 1) / eigenvectors(1, 1);

mu_1 = mode_shape_1(2); % a2/a1 for omega_1
mu_2 = mode_shape_2(2); % a2/a1 for omega_2

% --- 在命令窗口显示结果 ---
fprintf('--- 数值计算结果 ---\n');
fprintf('λ1 = %.4f, λ2 = %.4f\n', lambda_1, lambda_2);
fprintf('ω1 = %.4f rad/s\n', omega_1);
fprintf('ω2 = %.4f rad/s\n', omega_2);
fprintf('第一阶振型 (a2/a1)_1 = %.4f\n', mu_1);
fprintf('第二阶振型 (a2/a1)_2 = %.4f\n\n', mu_2);

% --- 绘制振型图 ---
figure('Name', '固有振动模态');

% 梁的位置坐标
x_beam = linspace(0, ell, 100); % 用于绘制平滑曲线
x_masses = [ell/2, ell];      % 质量块的位置

% 第一阶振型
subplot(2, 1, 1);
% 振型节点：(0,0), (l/2, a1), (l, a2)
y_mode_1_nodes = [0, mode_shape_1'];
x_mode_1_nodes = [0, x_masses];
% 使用样条插值绘制平滑的梁变形曲线
y_mode_1_curve = spline(x_mode_1_nodes, y_mode_1_nodes, x_beam);
plot(x_beam, y_mode_1_curve, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(x_masses, mode_shape_1, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 8); % 标记质量块
plot([0, ell], [0, 0], 'k--'); % 绘制未变形的梁
title(sprintf('第一阶振型 (ω₁ = %.2f rad/s)', omega_1));
xlabel('梁的位置 (m)');
ylabel('相对振幅');
legend('振型曲线', '质量块', '初始位置', 'Location', 'northwest');
grid on;
axis([0 ell -0.5 3.5]); % 调整坐标轴范围

% 第二阶振型
subplot(2, 1, 2);
% 振型节点：(0,0), (l/2, a1), (l, a2)
y_mode_2_nodes = [0, mode_shape_2'];
x_mode_2_nodes = [0, x_masses];
% 使用样条插值绘制平滑的梁变形曲线
y_mode_2_curve = spline(x_mode_2_nodes, y_mode_2_nodes, x_beam);
plot(x_beam, y_mode_2_curve, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(x_masses, mode_shape_2, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 8); % 标记质量块
plot([0, ell], [0, 0], 'k--'); % 绘制未变形的梁
title(sprintf('第二阶振型 (ω₂ = %.2f rad/s)', omega_2));
xlabel('梁的位置 (m)');
ylabel('相对振幅');
legend('振型曲线', '质量块', '初始位置', 'Location', 'southwest');
grid on;
axis([0 ell -1.5 1.5]); % 调整坐标轴范围