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第7篇

2.3 阻尼自由振动

在振动过程中，能量因摩擦或其他阻力而耗散。自由振动的振幅随时间衰减，而稳态振幅只能由外部激励维持。能量的耗散通常称为阻尼(damping)。它由材料内部摩擦、结构件间摩擦、流体-结构相互作用、辐射或电磁场中的运动产生。

最简单的阻尼机制源于在粘性介质中的运动，粘性阻尼力与速度成正比且方向相反。为方便起见，可将所有阻尼力替换为单个等效粘性阻尼力，其依据是振动一个周期内耗散的能量相同。结构阻尼或滞回阻尼(hysteretic damping)由与速度同相但与位移成正比的阻尼力描述。经验表明，在飞机结构中，用滞回阻尼更能准确表示阻尼损耗。更复杂的机制，如遗传阻尼(hereditary damping)，可用于更好地描述实际系统的行为。

2.3.1 粘性阻尼

图2.20, a所示系统由刚度为\(k\)的线性弹簧、质量\(m\)和粘性阻尼器(viscous damper)或缓冲器(dashpot)组成。缓冲器中的力与速度成正比且符号相反。比例系数称为粘性阻尼系数(viscous damping coefficient)\(c\)，单位为\(\mathrm{N}/\left( {\mathrm{m}/\mathrm{{sec}}}\right)\)。

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_31_559_695_551_371_0.jpg

图2.20

对于自由振动，可利用牛顿第二定律及图2.20所示的受力图得到运动微分方程，\(b\)

\[ m\ddot{x} = - c\dot{x} - {kx}, \]

可写成

\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + {kx} = 0. \tag{2.38} \]

假设解的形式为\(x = {\mathrm{e}}^{st}\)，我们得到特征方程

\[ {s}^{2} + \frac{c}{m}s + \frac{k}{m} = 0, \tag{2.39} \]

它有两个根

\[ {s}_{1,2} = - \frac{c}{2m} \pm \sqrt{{\left( \frac{c}{2m}\right) }^{2} - \frac{k}{m}}. \tag{2.40} \]

阻尼自由振动的通解为

\[ x\left( t\right) = {C}_{1}{e}^{{s}_{1}t} + {C}_{2}{e}^{{s}_{2}t}, \tag{2.41} \]

其中积分常数由初始条件确定。

作为参考量，我们将临界阻尼(critical damping)定义为使(2.40)中根号项为零的\(c\)值

\[ \frac{{c}_{c}}{2m} = \sqrt{\frac{k}{m}} = {\omega }_{n} \]

或

\[ {c}_{c} = 2\sqrt{km} = {2m}{\omega }_{n}. \tag{2.42} \]

系统的实际阻尼可用一个无量纲量表示，即实际系统阻尼与临界系统阻尼之比

\[ \zeta = \frac{c}{{c}_{c}} \tag{2.43} \]

称为阻尼比(damping ratio)(或临界阻尼百分比)

采用此记号，方程(2.40)变为

\[ {s}_{1,2} = \left( {-\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^{2} - 1}}\right) {\omega }_{n}. \tag{2.44} \]

根据根(2.44)为实数、复数或相等，上述方程必须考虑三种可能情况。

情况I:欠阻尼系统，\(\zeta < 1\)

对于\(\zeta < 1\)，方程(2.44)可写成

\[ {s}_{1,2} = \left( {-\zeta \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}\right) {\omega }_{n}. \tag{2.45} \]

将(2.45)代入(2.41)并借助欧拉公式\({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta } = \cos \beta + \mathrm{i}\sin \beta\)转换为三角形式，得到

\[ x\left( t\right) = {e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\left( {{C}_{1}{e}^{\mathrm{i}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}{\omega }_{n}t} + {C}_{2}{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}{\omega }_{n}t}}\right) , \]

或

\[ x\left( t\right) = A{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin \left( {\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}{\omega }_{n}t + \phi }\right) . \tag{2.46} \]

方程(2.46)表明运动为振幅逐渐减小的振荡。振幅随时间衰减与\({\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\)成正比，如图2.21中虚线所示。

阻尼振荡的频率

\[ {\omega }_{d} = \sqrt{1 - {\zeta }^{2}}{\omega }_{n} \tag{2.47} \]

小于无阻尼固有频率\({\omega }_{n}\)，称为阻尼固有频率。当\(\zeta \rightarrow 1,{\omega }_{d}\)趋近于零时，运动不再具有振荡性。

方程(2.44)可写成

\[ {s}_{1,2} = - \sigma \pm \mathrm{i}{\omega }_{d} \tag{2.48} \]

其中

\[ \sigma = \zeta {\omega }_{n} \tag{2.49} \]

为振幅衰减率(指数曲线在\(t = 0)\)处切线的斜率)。

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_33_514_752_711_462_0.jpg

图2.21

以下方程很有用

\[ \zeta = \frac{\sigma }{\sqrt{{\omega }_{d}^{2} + {\sigma }^{2}}},\;{\omega }_{n} = \frac{\sigma }{\zeta } = \sqrt{{\omega }_{d}^{2} + {\sigma }^{2}}. \tag{2.50} \]

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_33_552_1489_613_431_0.jpg

图2.22

情况II:过阻尼系统，\(\zeta > 1\)

对于\(\zeta > 1\)，将(2.44)代入(2.41)得

\[ x\left( t\right) = {C}_{1}{e}^{\left( {-\zeta + \sqrt{{\zeta }^{2} - 1}}\right) {\omega }_{n}t} + {C}_{2}{e}^{\left( {-\zeta - \sqrt{{\zeta }^{2} - 1}}\right) {\omega }_{n}t}. \]

运动不再振荡(图2.22)，称为非周期运动。

bo_d34j0n3ef24c73b3tujg_34_567_742_539_306_0.jpg

图2.23

情况III:临界阻尼系统，\(\zeta = 1\)

临界阻尼表示振荡与非振荡运动之间的过渡。此时通解为

\[ x\left( t\right) = \left( {{C}_{1} + {C}_{2}t}\right) {\mathrm{e}}^{-{\omega }_{n}t}. \]

运动与大于临界阻尼的情况类似(图2.23)，但能在最短时间内无振荡地回到静止位置。这用于电气仪表，其活动部件被临界阻尼，以便迅速回到测量值。

2.3.2 对数衰减率(Logarithmic Decrement)

确定振动系统阻尼量的一种方法是测量振荡衰减的速率。这通常用对数衰减率(logarithmic decrement)表示，其定义为任意两个连续振幅之比的自然对数。对于粘性阻尼(viscous damping)，该比值为常数。

考虑由方程(2.46)表示的阻尼振动记录曲线(图2.24)。

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图2.24

衰减正弦曲线在略偏离最大振幅点(正弦函数值为1处)的右侧与指数包络线相切。然而，该差异可忽略不计，因此两个连续振幅之比可用一个周期距离处的指数纵坐标之比代替。

\[ \frac{{x}_{1}}{{x}_{2}} = \frac{A{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{A{e}^{-\zeta {\omega }_{n}\left( {t + {T}_{d}}\right) }} = {e}^{\zeta {\omega }_{n}{T}_{d}} \]

其中阻尼振动的周期为

\[ {T}_{d} = \frac{2\pi }{{\omega }_{n}\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}} = \frac{2\pi }{{\omega }_{d}}. \]

对数衰减率为

\[ \delta = \ln \frac{{x}_{1}}{{x}_{2}} = \zeta {\omega }_{n}{T}_{d} = \frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1 - {\zeta }^{2}}}. \tag{2.51} \]

对于\(\zeta < < 1,\delta \cong {2\pi \zeta }\)。

有时振动一个周期后的衰减过小，只有在\(n\)个周期后才能分辨出较小的振幅。其比值

\[ \frac{{x}_{0}}{{x}_{n}} = \frac{{x}_{0}}{{x}_{1}}\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}\frac{{x}_{2}}{{x}_{3}}\cdots \frac{{x}_{n - 1}}{{x}_{n}} = {\left( {e}^{\delta }\right) }^{n} = {e}^{n\delta } \]

因此对数衰减率由下式给出

\[ \delta = \frac{1}{n}\ln \frac{{x}_{0}}{{x}_{n}}. \tag{2.51, a} \]

若将振动峰值振幅以对数坐标绘制，而循环次数以算术坐标绘制，当阻尼为方程(2.38)所假设的粘性类型时，这些点将落在一条直线上。

实际中，先绘制峰谷包络线(图2.25)，然后在每个峰谷处测量包络线间的高度。将该高度以对数坐标对半循环次数作图，并通过各点绘制最佳直线。该直线的斜率用于确定阻尼比(damping ratio)。

\[ \ln {x}_{n} = \ln {x}_{0} - {2\zeta \pi } \cdot n \]

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图2.25

对于\(\zeta < < 1\)，方程(2.51, a)给出

因此阻尼比\(\zeta\)等于直线斜率除以\({2\pi }\)(若按图2.25所示在峰谷处测量，则除以\(\pi\))。

2.3.3 损耗因子(Loss Factor)

损耗因子(loss factor)是衡量阻尼的便利指标，定义为每周期损失的能量(或维持稳态条件需向系统提供的能量)\({\Delta U}\)与该周期内系统存储的峰值势能\(U\)之比。

\[ \eta = \frac{\Delta U}{U}. \tag{2.52} \]

一般而言，损耗因子(loss factor)既取决于振动的幅值，也取决于其频率，并且同样适用于非线性系统以及参数随频率变化的系统。

若\({X}_{1}\)和\({X}_{2}\)为阻尼自由振动的两个相邻振幅，则弹簧在最大位移处储存的能量为\({U}_{1} = \frac{1}{2}k{X}_{1}^{2}\)，\({U}_{2} = \frac{1}{2}k{X}_{2}^{2}\)。能量损失与原始能量之比为

\[ \frac{{U}_{1} - {U}_{2}}{{U}_{1}} = 1 - \frac{{U}_{2}}{{U}_{1}} = 1 - {\left( \frac{{X}_{2}}{{X}_{1}}\right) }^{2} = 1 - {e}^{-{2\delta }} \cong {2\delta } \]

其中\(\delta\)为对数衰减率(logarithmic decrement)。因此，对于小阻尼，损耗因子约等于对数衰减率的两倍。

\[ \eta \cong {2\delta }\text{.} \tag{2.52, a} \]

Matlab Demo欠阻尼系统

以下Matlab代码可用于演示欠阻尼系统的自由振动响应：

% 欠阻尼系统自由振动演示
% 参数设置
m = 1.0;      % 质量 (kg)
k = 100.0;    % 刚度 (N/m)
zeta = 0.1;   % 阻尼比 (欠阻尼，zeta < 1)

% 计算系统参数
omega_n = sqrt(k/m);      % 无阻尼固有频率 (rad/s)
omega_d = omega_n*sqrt(1-zeta^2);  % 阻尼固有频率 (rad/s)
c = 2*zeta*sqrt(k*m);     % 阻尼系数 (N·s/m)

% 时间设置
t = linspace(0, 10, 1000);  % 时间从0到10秒

% 初始条件
x0 = 0.1;      % 初始位移 (m)
v0 = 0.0;      % 初始速度 (m/s)

% 计算响应
A = sqrt(x0^2 + ((v0 + zeta*omega_n*x0)/omega_d)^2);
phi = atan2(omega_d*x0, (v0 + zeta*omega_n*x0));

% 欠阻尼系统响应
x = A * exp(-zeta*omega_n*t) .* sin(omega_d*t + phi);

% 绘制结果
figure('Position', [100, 100, 800, 600]);
plot(t, x, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t, A*exp(-zeta*omega_n*t), 'r--', 'LineWidth', 1);
plot(t, -A*exp(-zeta*omega_n*t), 'r--', 'LineWidth', 1);

xlabel('时间 (s)');
ylabel('位移 (m)');
title('欠阻尼系统自由振动响应');
legend('位移响应', '指数包络线', 'Location', 'best');
grid on;

% 计算并显示系统参数
fprintf('系统参数：\n');
fprintf('无阻尼固有频率: %.2f Hz\n', omega_n/(2*pi));
fprintf('阻尼固有频率: %.2f Hz\n', omega_d/(2*pi));
fprintf('阻尼比: %.3f\n', zeta);
fprintf('对数衰减率: %.3f\n', 2*pi*zeta/sqrt(1-zeta^2));

% 动画演示
figure('Position', [100, 100, 800, 400]);
for i = 1:10:length(t)
    plot(t(1:i), x(1:i), 'b-', 'LineWidth', 2);
    hold on;
    plot(t(i), x(i), 'ro', 'MarkerSize', 8);
    plot(t(1:i), A*exp(-zeta*omega_n*t(1:i)), 'r--', 'LineWidth', 1);
    plot(t(1:i), -A*exp(-zeta*omega_n*t(1:i)), 'r--', 'LineWidth', 1);
    xlabel('时间 (s)');
    ylabel('位移 (m)');
    title('欠阻尼系统响应随时间变化');
    grid on;
    xlim([0, t(end)]);
    ylim([-A, A]);

    pause(0.05);
    if i < length(t)
        cla;
    end
end

% 不同阻尼比的比较
figure('Position', [100, 100, 800, 600]);
zeta_values = [0.05, 0.1, 0.2, 0.5];
colors = ['r', 'g', 'b', 'm'];

for i = 1:length(zeta_values)
    z = zeta_values(i);
    omega_d_temp = omega_n*sqrt(1-z^2);
    x_temp = A * exp(-z*omega_n*t) .* sin(omega_d_temp*t + phi);
    plot(t, x_temp, colors(i), 'LineWidth', 2);
    hold on;
end

xlabel('时间 (s)');
ylabel('位移 (m)');
title('不同阻尼比对欠阻尼系统的影响');
legend('\zeta = 0.05', '\zeta = 0.1', '\zeta = 0.2', '\zeta = 0.5', 'Location', 'best');
grid on;
不同阻尼比