第15篇

4.1.3 自然模态的正交性(Orthogonality of Natural Modes)

将解(4.13)代入方程(4.3)，我们得到

\[ \left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{1} = {\omega }_{1}^{2}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{1}, \tag{4.15, a} \]

\[ \left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{2} = {\omega }_{2}^{2}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{2}. \tag{4.15, b} \]

将(4.15, a)左乘$\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}$得到

\[ \{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{1} = {\omega }_{1}^{2}\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{1}. \tag{4.16} \]

对(4.15, b)取转置并在右侧乘以$\{ u{\} }_{1}$，我们得到

\[ \{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{1} = {\omega }_{2}^{2}\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{1}. \tag{4.17} \]

将(4.16)与(4.17)相减，对于${\omega }_{1} \neq {\omega }_{2}$，我们得到

\[ \{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{1} = 0, \tag{4.18} \]

并取其转置

\[ \{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{2} = 0 \tag{4.19} \]

将(4.18)代入(4.16)可得

\[ \{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{1} = 0 \tag{4.20} \]

并取其转置

\[ \{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{2} = 0 \tag{4.21} \]

方程(4.18)-(4.21)表明，模态向量(modal vectors)关于质量矩阵(mass matrix)和刚度矩阵(stiffness matrix)是正交的。注意这与两个向量$\{ a\}$和$\{ b\}$的普通正交性不同，后者记为$\{ a{\} }^{\mathrm{T}}\{ b\} = 0$。

在(4.13)中记作

\[ {q}_{1}\left( t\right) = {C}_{1}\cos \left( {{\omega }_{1}t - {\varphi }_{1}}\right) , \]

\[ {q}_{2}\left( t\right) = {C}_{2}\cos \left( {{\omega }_{2}t - {\varphi }_{2}}\right) \tag{4.22} \]

使得(4.14)变为

\[ \{ x\left( t\right) \} = \{ u{\} }_{1}{q}_{1} + \{ u{\} }_{2}{q}_{2}. \tag{4.23} \]

方程(4.23)可写成

\[ \{ x\left( t\right) \} = \left\lbrack {\{ u{\} }_{1}\{ u{\} }_{2}}\right\rbrack \left\{ \begin{array}{l} {q}_{1} \\ {q}_{2} \end{array}\right\} = \left\lbrack u\right\rbrack \{ q\} \tag{4.23, a} \]

其中

\[ \left\lbrack u\right\rbrack = \left\lbrack {\{ u{\} }_{1}\{ u{\} }_{2}}\right\rbrack \tag{4.24} \]

称为模态矩阵(modal matrix)。

将(4.23)代入(4.3)，左乘$\{ u{\} }_{r}^{\mathrm{T}}\left( {r = 1,2}\right)$并利用正交性，我们得到

\[ {M}_{r}{\ddot{q}}_{r} + {K}_{r}{q}_{r} = 0, \tag{4.25} \]

其中

\[ {M}_{r} = \{ u{\} }_{r}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{r},{K}_{r} = \{ u{\} }_{r}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{r} \tag{4.26} \]

分别为模态质量(modal masses)和模态刚度(modal stiffnesses)。

模态质量和模态刚度的取值取决于模态向量的归一化方式。当给定模态质量时，称这些向量为质量归一化(mass-normalized)。若模态质量取单位值，则模态刚度等于相应固有频率的平方。

由方程(4.15)可得用模态向量表示的固有频率

\[ {\omega }_{r}^{2} = \frac{\{ u{\} }_{r}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{r}}{\{ u{\} }_{r}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{r}}.\;r = 1,2 \tag{4.27} \]

瑞利商(Rayleigh's quotient)定义为

\[ R\left( {\{ u\} }\right) = \frac{\{ u{\} }^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u\} }{\{ u{\} }^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u\} }. \tag{4.28} \]

若向量$\{ u\}$与系统的某一模态向量重合，则该商等于相应固有频率的平方。瑞利商在模态向量附近具有驻值。若$\{ u\}$为与第一阶模态向量略有差异的试探向量，则$R\left( \{ \right) u\}$)非常接近基频的平方，且总是略高。

线性变换(4.23)使运动方程解耦。使运动方程相互独立的坐标(4.22)称为主坐标(principal coordinates)或模态坐标(modal coordinates)。

将(4.23, a)代入(4.3)并左乘${\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}$得

\[ {\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \left\lbrack u\right\rbrack \{ \ddot{q}\} + {\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \left\lbrack u\right\rbrack \{ q\} = \{ 0\} , \tag{4.29} \]

或

\[ \left\lbrack M\right\rbrack \{ \ddot{q}\} + \left\lbrack K\right\rbrack \{ q\} = \{ 0\} , \tag{4.29, a} \]

其中对角矩阵

\[ \left\lbrack M\right\rbrack = {\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \left\lbrack u\right\rbrack \text{ and }\left\lbrack K\right\rbrack = {\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \left\lbrack u\right\rbrack \tag{4.30} \]

分别为模态质量矩阵(modal mass matrix)和模态刚度矩阵(modal stiffness matrix)。

坐标变换(4.23, a)同时对质量矩阵和刚度矩阵进行对角化。在分别求解解耦方程(4.29, a)后，可将模态坐标代回(4.23, a)以获得构形空间中的物理坐标。该技术称为模态分析(modal analysis)。模态分析利用基于模态矩阵(modal matrix)的线性坐标变换，将振动系统的运动方程解耦。

4.1.5 对谐波激励的响应

考虑图4.4所示系统在分别作用于质量${m}_{1}$的力${f}_{1}\left( t\right)$和${f}_{2}\left( t\right)$作用下的受迫振动。

图4.4

运动方程为

\[ {m}_{1}{\ddot{x}}_{1} + \left( {{k}_{1} + {k}_{2}}\right) {x}_{1} - {k}_{2}{x}_{2} = {f}_{1}, \]

\[ {m}_{2}{\ddot{x}}_{2} - {k}_{2}{x}_{1} + \left( {{k}_{3} + {k}_{2}}\right) {x}_{2} = {f}_{2}, \tag{4.31} \]

或以紧凑的矩阵形式表示为

\[ \left\lbrack m\right\rbrack \{ \ddot{x}\} + \left\lbrack k\right\rbrack \{ x\} = \{ f\} , \tag{4.31, a} \]

其中$\{ f\}$为外施力列向量。

个人理解

这部分内容是结构动力学中非常核心且非常优美的概念：模态分析 (Modal Analysis)。如果你觉得公式推导很抽象，完全正常。我们可以用一个更直观、更生活化的方式来理解它。想象一下，我们不再看这些矩阵和向量，而是把它想象成一个乐队。

1. 核心问题：混乱的合奏 (The Problem: Coupled Equations)

一个复杂的结构（比如一座桥、一栋楼）在振动时，内部有成千上万个点。每个点的运动都会影响到它周围的点。

物理坐标 $\{x(t)\}$：这就像是乐队里每个乐手的独立动作。比如，小提琴手在拉弓，鼓手在敲鼓，贝斯手在拨弦。
耦合的运动方程 $[m]\{\ddot{x}\} + [k]\{x\} = \{0\}$：这代表了乐队的现状——一片混乱。每个乐手都在凭感觉演奏，他们的声音和节奏相互干扰，听起来非常嘈杂。你无法单独分析小提琴的声音，因为它完全混在了鼓声和贝斯声里。这就是“耦合”（Coupled）的含义：所有自由度的运动都搅在一起，无法分开处理。

我们的目标是：把这团混乱的声音分离开，让它变得清晰有序。

2. 解决方案第一步：找到“和弦” (Natural Modes / 振型)

乐队指挥发现，虽然乐手们在乱弹，但如果他们按照某些特定的节奏和模式一起演奏，声音会变得异常和谐、响亮。这些特定的、和谐的演奏模式，就是系统的自然模态 (Natural Modes)。

模态向量 (Modal Vector) $\{u\}_r$：这就是一个“和弦”的指法或乐谱。它规定了在第 $r$ 个和谐模式下，每个乐手（每个点）应该如何运动。比如，在第一种模式（基频）下，小提琴手动作幅度是1，鼓手是0.8，贝斯手是1.2，他们都以相同的节奏（频率 $\omega_1$）运动。这个 [1, 0.8, 1.2] 的相对幅度关系就是模态向量 $\{u\}_1$。
固有频率 (Natural Frequency) $\omega_r$：这是那个“和弦”听起来的音高。每个模态（和谐模式）都有一个自己固定的频率。

3. 解决方案第二步：神奇的“正交性”规则 (Orthogonality)

“正交性”是模态分析中最神奇的数学工具。它告诉我们一个惊人的事实：

任何两种不同的和谐模式（模态）之间，是完全“独立”或“不相关”的。

书中的公式：

\[ \{u\}_2^T [m] \{u\}_1 = 0 $$ $$ \{u\}_2^T [k] \{u\}_1 = 0 \]

直观理解：这不像普通的几何垂直（$\{a\}^T\{b\}=0$）。你可以把它理解为一种能量上的独立。当系统按照第1模态振动时，它产生的动能和势能，在第2模态的“视角”下看来，总和为零。反之亦然。
乐队比喻：这就像乐队的第一种“和弦”（比如C大调和弦）和第二种“和弦”（比如G大调和弦）是完全不同的。你不可能把C大调和弦的能量错误地算到G大调和弦上去。它们在音乐上是“正交”的。

这个规则是进行下一步“解耦”的数学钥匙。

现在我们知道系统有好几种和谐的振动模式（模态/和弦）。那么，系统任意时刻的复杂、混乱的振动，其实能不能看作是这几种和谐模式（和弦）的叠加呢？答案是肯定的！

物理坐标 $\{x(t)\}$：这是我们听到的最终的、复杂的乐曲。
模态向量 $\{u\}_r$：这是我们拥有的基础和弦（C大调，G大调等）。
模态坐标 (Modal Coordinate) $q_r(t)$：这才是最关键的概念！它代表在最终的乐曲中，每一种“和弦”在 $t$ 时刻贡献了多大的“音量”。

书中的核心公式：

\[ \{x(t)\} = \{u\}_1 q_1(t) + \{u\}_2 q_2(t) + \dots \]

这就像在说：

最终乐曲 = (C和弦的指法) × (C和弦的音量随时间变化) + (G和弦的指法) × (G和弦的音量随时间变化) + ...

我们成功地把一个复杂的运动 $\{x(t)\}$，分解成了几个简单模式的组合。我们不再直接分析每个乐手的复杂动作 $\{x(t)\}$，而是转而去分析每种“和弦”的音量变化 $q(t)$。

当我们把这个“坐标变换”代入原始的、混乱的运动方程，并利用前面提到的“正交性”这个神奇规则，奇迹发生了：

原来耦合在一起的方程组，瞬间被拆散成了一系列独立的、简单的方程：

\[ M_r \ddot{q}_r + K_r q_r = 0 \quad (r=1, 2, \dots) \]

发生了什么？ 我们成功地将一个“多自由度耦合系统”（一个混乱的乐队）分解成了多个单自由度系统（多个可以独立分析的音轨）。
$M_r$ (模态质量) 和 $K_r$ (模态刚度)：它们分别是第 $r$ 个“音轨”的等效质量和等效刚度。
模态分析 (Modal Analysis)：整个过程——从找到系统的和谐模式（模态），到利用这些模式作为新的“坐标系”来解耦运动方程——就叫做模态分析。

总结与类比

专业术语	乐队类比	一句话解释
物理坐标 $\{x\}$	每个乐手的具体动作	描述系统每个点的实际位移，非常复杂。
耦合的运动方程	整个乐队的混乱合奏	所有点的运动都相互关联，无法分开求解。
模态/振型 $\{u\}_r$	一种和谐的“和弦”或“乐谱”	系统固有的、和谐的振动形态。
固有频率 $\omega_r$	“和弦”的音高	该振动形态对应的特定频率。
正交性	不同“和弦”在能量上相互独立	保证了不同模态之间不会互相“串扰”的数学规则。
模态坐标 $q_r(t)$	每种“和弦”随时间变化的“音量”	描述了每个模态在总运动中所占的权重。
解耦 (Decoupling)	将混乱的合奏分解成独立的音轨	将复杂的耦合方程组变成多个简单的独立方程。
模态分析	整个音乐分析过程	核心思想：任何复杂的振动，都可以看作是系统自身几种基本振动模式的线性叠加。

所以，理解模态分析的关键就是：换一个“视角”看问题。不要死盯着每个点的具体运动（物理坐标），而是从系统整体的、固有的振动模式（模态坐标）出发，问题就会迎刃而解。

4.1.5.1 模态分析法求解

将(4.23, a)代入方程(4.31, a)，并在左侧乘以${\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}$，得到

\[ \left\lbrack M\right\rbrack \{ \ddot{q}\} + \left\lbrack K\right\rbrack \{ q\} = \{ F\} , \tag{4.32} \]

其中

\[ \{ F\} = {\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}\{ f\} \tag{4.33} \]

为模态力列向量。

对于谐波激励

\[ \{ f\} = \left\{ \widehat{f}\right\} \cos {\omega t} \tag{4.34} \]

稳态响应为

\[ \{ x\} = \{ \widehat{x}\} \cos {\omega t},\;\{ q\} = \{ \widehat{q}\} \cos {\omega t}, \tag{4.35} \]

其中字母上的尖帽表示幅值。

将(4.34)和(4.35)代入(4.32)，得到

\[ \left\lbrack {-{\omega }^{2}\left\lbrack M\right\rbrack + \left\lbrack K\right\rbrack }\right\rbrack \{ \widehat{q}\} = {\left\lbrack u\right\rbrack }^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} = \{ \widehat{F}\} , \tag{4.36} \]

so that the amplitudes of modal coordinates are

于是模态坐标的幅值为

\[ {\widehat{q}}_{1} = \frac{{\widehat{F}}_{1}}{{K}_{1} - {\omega }^{2}{M}_{1}} = \frac{\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} }{\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{1} - {\omega }^{2}\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{1}}, \tag{4.37} \]

\[ {\widehat{q}}_{2} = \frac{{\widehat{F}}_{2}}{{K}_{2} - {\omega }^{2}{M}_{2}} = \frac{\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} }{\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{2} - {\omega }^{2}\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{2}}. \tag{4.38} \]

振幅的方程(4.23)变为

\[ \{ \widehat{x}\} = \{ u{\} }_{1}{\widehat{q}}_{1} + \{ u{\} }_{2}{\widehat{q}}_{2}. \tag{4.39} \]

将(4.37)和(4.38)代入(4.39)，我们得到物理坐标下的振幅向量

\[ \{ \widehat{x}\} = \frac{\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} \{ u{\} }_{1}}{\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{1} - {\omega }^{2}\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{1}} + \frac{\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} \{ u{\} }_{2}}{\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack k\right\rbrack \{ u{\} }_{2} - {\omega }^{2}\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\left\lbrack m\right\rbrack \{ u{\} }_{2}}. \]

(4.40)

The elements of $\{ \widehat{x}\}$ are of the form

$\{ \widehat{x}\}$的元素形式为

\[ {\widehat{x}}_{1} = \frac{\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} }{{K}_{1} - {\omega }^{2}{M}_{1}}{u}_{11} + \frac{\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} }{{K}_{2} - {\omega }^{2}{M}_{2}}{u}_{12}, \tag{4.41} \]

\[ {\widehat{x}}_{2} = \frac{\{ u{\} }_{1}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} }{{K}_{1} - {\omega }^{2}{M}_{1}}{u}_{21} + \frac{\{ u{\} }_{2}^{\mathrm{T}}\{ \widehat{f}\} }{{K}_{2} - {\omega }^{2}{M}_{2}}{u}_{22}. \tag{4.42} \]

专业术语	乐队类比	一句话解释
物理坐标 \(\{x\}\)	每个乐手的具体动作	描述系统每个点的实际位移，非常复杂。
耦合的运动方程	整个乐队的混乱合奏	所有点的运动都相互关联，无法分开求解。
模态/振型 \(\{u\}_r\)	一种和谐的“和弦”或“乐谱”	系统固有的、和谐的振动形态。
固有频率 \(\omega_r\)	“和弦”的音高	该振动形态对应的特定频率。
正交性	不同“和弦”在能量上相互独立	保证了不同模态之间不会互相“串扰”的数学规则。
模态坐标 \(q_r(t)\)	每种“和弦”随时间变化的“音量”	描述了每个模态在总运动中所占的权重。
解耦 (Decoupling)	将混乱的合奏分解成独立的音轨	将复杂的耦合方程组变成多个简单的独立方程。
模态分析	整个音乐分析过程	核心思想：任何复杂的振动，都可以看作是系统自身几种基本振动模式的线性叠加。